多元函数微分学

偏导数

定义

设函数 $z = f(x,y) $ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某领域内有定义，且存在极限

l i m_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ x}

则称此极限为函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处对 $x$ 的偏导数，记为：

\frac{\partial z}{\partial x} |_{x = x_{0}, y = y_{0}} 或 z_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})

对 $y$ 的偏导同理。

计算：在计算多元函数对某一变量的偏导时，将多元函数看成这一个变量的函数，将其他变量视为常量，按照一元函数求导计算；对于直接求导难以得到答案的情况，也可以直接以极限的方式求偏导。

高阶偏导

对于高阶偏导，存在一定理：

设函数 $z = f (x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，且其两个二阶混合偏导在 $D$ 内存在且连续，那么这两偏导必然相等，即：

f_{x y}^{″} (x, y) = f_{y x}^{″} (x, y)

全微分

设函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某领邻域内有定义，那么其在点 $(x, y)$ 处的增量可表示为

Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y) \Rightarrow Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ)

其中， $ρ = \sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}}$ ， $A, B$ 是定值。记 $d x = Δ x, d y = Δ y$ 那么有：

d z = A d x + B d y

其中 $A = \frac{\partial z}{\partial x}, B = \frac{\partial z}{\partial y}$ 。

多元复合函数的求导法则

链式法则

如果函数 $u = ϕ (t), v = ψ (t)$ 在点 $t$ 处存在导数，函数 $z = f (u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处存在连续偏导，则复合函数 $z = f [ϕ (t), ψ (t)]$ 在点 $t$ 处可导，则有：

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d t}

如果函数 $u = φ (x, y), v = ψ (x, y)$ 都在点 $(x, y)$ 处有对 $x, y$ 的导数，函数 $z = f (u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 有连续偏导数，则函数 $z = f (φ, ψ)$ 在点 $(x, y)$ 处的两个导数都存在，则：
$\frac{d z}{d x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d x} \frac{d z}{d y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d y}$

形式不变性

设函数 $z = f (u, v)$ 以及函数 $u = φ (x, y), v = ψ (x, y)$ 均可微，则复合函数可微分为：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y d z = \frac{\partial z}{\partial u} d u + \frac{\partial z}{\partial v} d v

隐函数的求导法则

设函数 $F (x, y)$ 满足条件

$F (x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某一邻域内有连续偏导
$F (x, y) = 0$
$F_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq 0$

则方程 $F (x, y) = 0$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某一邻域内能唯一确定函数 $y = f (x)$ 且有：

\frac{d y}{d x} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}

方向导数与梯度

方向导数

定义：

设 $l$ 是从点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 发出的一条射线，方向角为 $α, β$ 。
从点 $P_{0}$ 出发沿着 $l$ 经过距离 $t$ 到达点 $P (x_{0} + t c o s α, y_{0} + t c o s β)$ ，

则函数 $f (x, y)$ 在点 $P_{0}$ 沿着 $l$ 方向的方向导数为：

\frac{\partial f}{\partial l} |_{(x_{0}, y_{0})} = l i m_{t \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + t c o s α, y_{0} + t c o s β) - f (x_{0}, y_{0})}{t}

通过全微分可以得到： $d f = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y$

对于 $d x, d y$ 有： $d x = d l \cdot c o s α, d y = d l \cdot c o s β$

于是可以得到： $\frac{\partial f}{\partial l} = f_{x} (x, y) c o s α + f_{y} (x, y) c o s β$

梯度

设函数 $f (x, y)$ 在平面区域 $D$ 内具有连续的偏导数，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在 $D$ 内

则向量 $f_{x} (x_{0}, y_{0}) i + f_{y} (x_{0}, y_{0}) j$ 为函数 $f (x, y)$ 在点 $P_{0}$ 处的梯度。

记作 $g r a d f (x_{0}, y_{0})$ 或 $\nabla f (x_{0}, y_{0})$

设函数 $f (x, y)$ 在点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 处可微分，方向 $l$ 的方向角是 $α, β$ 则 $e_{l} = (c o s α, c o s β)$ 是与 $l$ 同向的单位向量，那么就能得到：

\frac{\partial f}{\partial l} = f_{x} (x, y) c o s α + f_{y} (x, y) c o s β \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f (x, y) \cdot e_{l}

多元函数的极值

无条件极值

定义：

设函数 $z = f (x, y)$ 的定义域为 $D ， P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 为 $D$ 的内点。

若有点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 的某个邻域 $U (P_{0})$ ，在该邻域内，对 $P_{0}$ 之外的任意点 $P (x, y)$ 都有：

f (x, y) < f (x_{0}, y_{0})

则称 $f (x_{0}, y_{0})$ 为函数 $f (x, y)$ 的极大值，点 $P_{0}$ 称为极大值点。极小值同理。

极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称极值点。

极值的必要条件：

若函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处具有有偏导数，且在该点处有极值，那么有：

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

极值的充分条件：

若函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某一邻域内有连续的一阶偏导和二阶偏导，且一阶偏导为零，那么将几个二阶偏导记为：

f_{x x}^{″} (x_{0}, y_{0}) = A, f_{x y}^{″} (x_{0}, y_{0}) = B, f_{y y}^{″} (x_{0}, y_{0}) = C

可以得到判别式： $A C - B^{2}$ (通过 Hessian 矩阵算得)

$A C - B^{2} > 0$ ， $f (x_{0}, y_{0})$ 是极值，若 $A < 0$ 为极大值，若 $A > 0$ 为极小值。
$A C - B^{2} < 0$ ， $f (x_{0}, y_{0})$ 不是极值。
$A C - B^{2} = 0$ ， $f (x_{0}, y_{0})$ 无法确定是否为极值，需要另外讨论。

条件极值和拉格朗日数乘法

若函数 $f (x, y)$ 及 $φ (x, y)$ 均有连续的偏导数。 $(x_{0}, y_{0})$ 为条件极值点,且 $φ'_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq 0$ ( $φ'_{x} (x_{0}, y_{0}) \neq 0$ 可类似讨论)。考虑函数 $f (x, y)$ 在条件 $φ (x, y) = 0$ 下的极值。在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的一个邻域内可以确定函数 $y = y (x)$ ,那么 $x = x_{0}$ 是函数 $f (x, y (x))$ 的极值点。（ $x = x (y), y = y_{0}$ 作为极值点同理）

那么（由费马引理）会有：

\frac{d f (x, y (x))}{d x} |_{x = x_{0}} = f'_{x} (x_{0}, y_{0}) + f'_{y} (x_{0}, y_{0}) \cdot \frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}} = 0. \frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}} = - \frac{φ_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})}{φ_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})}

于是有：

\frac{f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})}{φ_{x}^{'} (x_{0}, y_{0})} = \frac{f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})}{φ_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})}

将比值设为 $- λ$ ，于是就能得到：

f'_{x} (x_{0}, y_{0}) + λ φ'_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0 f'_{y} (x_{0}, y_{0}) + λ φ'_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0

那么令 $L (x, y) = f (x, y) + λ φ (x, y)$

就能得到：

L'_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0 L'_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0

与 $φ (x_{0}, y_{0}) = 0$ 联立即可求得点 $(x_{0}, y_{0})$

上述方法即为拉格朗日数乘法。 $L (x, y)$ 为拉格朗日函数， $λ$ 为拉格朗日乘数。

在遇到存在多个限制条件时，可引入多个拉格朗日乘数参与计算。

多元函数微分