向量代数与空间解析几何

向量相关

方向角

一向量 **r **与 $x, y, z$ 轴正向的夹角 $α 、 β 、 γ$ 称为其方向角，方向角的余弦成为其方向余弦。

设 r=( $x, y, z$ )

那么有

$cos\alpha = \frac{x}{|r|}, cos\beta = \frac{y}{r}, cos\gamma = \frac{z}{r} $

进而有

$cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma = 1 $

投影

将向量 r 在 $u$ 轴上的投影记为： $p r j_{u} r$ 或 $(r)_{u}$

设向量 r 与 $u$ 轴正向的夹角为 $θ$ ，则：

(a) $_{u} = | a | c o s θ$
(a + b) $u$ = (a) $_{u}$ + (b) $_{u}$

向量积

c 为 a，b的向量积记为 c = a $\times$ b.

c 满足：

|c| = |a||b| $s i n θ$
c$ \perp $* * a * * ， * * c * *$ \perp $b，且三者满足右手法则

右手法则：

右手四指指向a ，向b内旋，拇指方向为c的方向

向量积的性质

a $\times$ a = 0
a $∥$ b $\Leftrightarrow$ a $\times$ b = 0

向量积的运算律

反交换律 ：b $\times$ a = $-$ a $\times$ b
分配律：(a + b) $\times$ c = a $\times$ c + a $\times$ c
结合律：( $λ$ a) $\times$ b = $λ$ (a $\times$ b)

向量积的坐标计算

a $\times$ b = $| \begin{matrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

计算时可以写为

$\begin{matrix} a_{y} & a_{z} & a_{x} & a_{y} \\ b_{y} & b_{z} & b_{x} & b_{y} \end{matrix}$

交叉相乘可得到三个值，对应 i，j，k 的参数

$a_{y} \times b_{z} - a_{z} \times b_{y}$

$a_{z} \times b_{x} - a_{x} \times b_{z}$

$a_{x} \times b_{y} - a_{y} \times b_{x}$

平面及其方程

方程

设平面的一个法向量为 n = $(A, B, C)$

一般方程

$A x + B y + C z + D = 0$

点法式方程

该平面过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$

则方程为

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

截距式方程

设平面与 $x, y, z$ 轴的交点为 $a, b, c$

则该方程为

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

平面关系

设有两平面

$Π_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$

$Π_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$

其法向量为

n $_{1} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})$

n $_{2} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})$

则两面的夹角：

$c o s θ = \frac{| n_{1} \cdot n_{2} |}{| n_{1} | | n_{2} |}$

特别的：

$Π_{1} ⊥ Π_{2} \Leftrightarrow A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0$

$Π_{1} ∥ Π_{2} \Leftrightarrow \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}$

点面距离

设有平面 $Π : A x + B y + C z + D = 0$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$

则点到平面的距离为

$\frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

直线及其方程

方程

一般方程

设直线 L 是平面 $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ 和 $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ 的交线

那么可以写为

$A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$

$A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$

对称式方程

设直线的方向向量为 $s = (m, n, p)$ ，且直线过点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$

那么对称式方程可以写为

$\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$

参数式方程

对于对称式方程，设其比值为 t，那么就有

$x = x_{0} + m t$

$y = y_{0} + n t$

$z = z_{0} + p t$

直线关系

线线关系

设有直线：

$L_{1} : \frac{x - x_{1}}{m_{1}} = \frac{y - y_{1}}{n_{1}} = \frac{z - z_{1}}{p_{1}}$

$L_{2} : \frac{x - x_{2}}{m_{2}} = \frac{y - y_{2}}{n_{2}} = \frac{z - z_{2}}{p_{2}}$

方向向量分别为：s $_{1}$ ，s $_{2}$

设两线夹角为 $θ$ ，则

$c o s θ = \frac{| s_{1} \cdot s_{2} |}{| s_{1} | | s_{2} |}$

特别的：

$L_{1} ⊥ L_{2} \Leftrightarrow m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2} + p_{1} p_{2} = 0$

$L_{1} ∥ L_{2} \Leftrightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$

线面关系

设有直线和平面：

$L : \frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$

$Π : A x + B y + C z + D = 0$

方向向量： $s = (n, m, p)$

法向量： $n = (A, B, C)$

设线面夹角为 $θ$ ，则

$s i n θ = \frac{n \cdot s}{| n | | s |}$

特别的：

$L ⊥ Π \Leftrightarrow \frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p}$

$L ∥ Π \Leftrightarrow A m + B n + C p = 0$

点线距离

点线距离可利用公式 $| \frac{| A P \times d |}{| d |} |$ 计算，其中，A 为线上任一点，d 为直线方向向量。 $A P \times b$ 求得的是 AP 与 d 构成的平行四边形的面积，除去 **d ** 的模后得到的就是高，即点线距离。

曲面及其方程

旋转曲面的方程

曲线所在坐标面	曲线方程	旋转轴	旋转曲面方程
$y o z$	$f (y, z) = 0$	$z$ 轴	$f (\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z)$
$y o z$	$f (y, z) = 0$	$y$ 轴	$f (y, \pm \sqrt{x^{2} + z^{2}})$
$x o z$	$f (x, z) = 0$	$x$ 轴	$f (x, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$
$x o z$	$f(x,z)=0 $	$z$ 轴	$f (\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z)$
$x o y$	$f (x, y) = 0$	$x$ 轴	$f (x, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$
$x o y$	$f (x, y) = 0$	$y$ 轴	$f (\pm \sqrt{x^{2} + z^{2}}, y)$

柱面

一直线 $l$ 沿着曲线 $C$ 平行移动形成的轨迹叫做柱面。其中， $l$ 被称作母线、 $C$ 被称作准线。

对于准线在 $x o y$ 平面， $l$ 平行于 $z$ 轴的曲线，可以表示为：

$F (x, y) = 0$

$z = 0$